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引言
在GCN的博文中我们重点讨论了图神经网络的逐层传播公式是如何推导的，然而，GCN的训练方式需要将邻接矩阵和特征矩阵一起放到内存或者显存里，在大规模图数据上是不可取的。其次，GCN在训练时需要知道整个图的结构信息(包括待预测的节点), 这在现实某些任务中也不能实现(比如用今天训练的图模型预测明天的数据，那么明天的节点是拿不到的)。GraphSAGE的出现就是为了解决这样的问题，这篇博文中我们将会详细得讨论它。
Inductive learning v.s. Transductive learning
首先我们介绍一下什么是inductive learning. 与其他类型的数据不同，图数据中的每一个节点可以通过边的关系利用其他节点的信息，这样就产生了一个问题，如果训练集上的节点通过边关联到了预测集或者验证集的节点，那么在训练的时候能否用它们的信息呢? 如果训练时用到了测试集或验证集样本的信息(或者说，测试集和验证集在训练的时候是可见的), 我们把这种学习方式叫做transductive learning, 反之，称为inductive learning. 显然，我们所处理的大多数机器学习问题都是inductive learning, 因为我们刻意的将样本集分为训练/验证/测试，并且训练的时候只用训练样本。然而，在GCN中，训练节点收集邻居信息的时候，用到了测试或者验证样本，所以它是transductive的。
概述
GraphSAGE是一个inductive框架，在具体实现中，训练时它仅仅保留训练样本到训练样本的边。inductive learning 的优点是可以利用已知节点的信息为未知节点生成Embedding. GraphSAGE 取自 Graph SAmple and aggreGatE, SAmple指如何对邻居个数进行采样。aggreGatE指拿到邻居的embedding之后如何汇聚这些embedding以更新自己的embedding信息。下图展示了GraphSAGE学习的一个过程：
- 对邻居采样
- 采样后的邻居embedding传到节点上来，并使用一个聚合函数聚合这些邻居信息以更新节点的embedding
- 根据更新后的embedding预测节点的标签
算法细节
节点 Embedding 生成(即：前向传播)算法
这一节讨论的是如何给图中的节点生成(或者说更新)embedding, 假设我们已经完成了GraphSAGE的训练，因此模型所有的参数(parameters)都已知了。具体来说，这些参数包括$K$个聚合器\(\texttt{AGGREGATE}_k, \forall k \in\{1, \ldots, K\}\)(见下图算法第4行)中的参数, 这些聚合器被用来将邻居embedding信息聚合到节点上，以及一系列的权重矩阵\(\mathbf{W}^{k}, \forall k \in\{1, \ldots, K\}\)(下图算法第5行), 这些权值矩阵被用作在模型层与层之间传播embedding的时候做非线性变换。
下面的算法描述了我们是怎么做前向传播的：
算法的主要部分为：
(line 1)初始化每个节点embedding为节点的特征向量
(line 3)对于每一个节点$v$
(line 4)拿到它采样后的邻居的embedding$h_u, u\in\mathcal{N}(v)$并将其聚合，这里\(\mathcal{N}(v)\)表示对邻居采样
(line 5)根据聚合后的邻居embedding(\(h_{\mathbf{N}(v)}\))和自身embedding($h_v$)通过一个非线性变换(\(\sigma(\mathbf{W}\cdot\Box\))更新自身embedding.
算法里的$K$这个比较难理解，下面单独来说他，$K$之前提到过，它既是聚合器的数量，也是权重矩阵的数量，还是网络的层数，这是因为每一层网络中聚合器和权重矩阵是共享的。网络的层数可以理解为需要最大访问到的邻居的跳数(hops)，比如在figure 1中，红色节点的更新拿到了它一、二跳邻居的信息，那么网络层数就是2。为了更新红色节点，首先在第一层($k=1$)我们会将蓝色节点的信息聚合到红色节点上，将绿色节点的信息聚合到蓝色节点上。在第二层($k=2$)红色节点的embedding被再次更新，不过这次用的是更新后的蓝色节点embedding，这样就保证了红色节点更新后的embedding包括蓝色和绿色节点的信息。
采样 (SAmple) 算法
GraphSAGE采用了定长抽样的方法，具体来说，定义需要的邻居个数$S$, 然后采用有放回的重采样/负采样方法达到$S$,。保证每个节点(采样后的)邻居个数一致是为了把多个节点以及他们的邻居拼成Tensor送到GPU中进行批训练。
聚合器 (Aggregator) 架构
GraphSAGE 提供了多种聚合器，实验中效果最好的平均聚合器(mean aggregator)，平均聚合器的思虑很简单，每个维度取对邻居embedding相应维度的均值，这个和GCN的做法基本一致(GCN实际上用的是求和)：
\[\mathbf{h}_{v}^{k} \leftarrow \sigma\left(\mathbf{W} \cdot \operatorname{MEAN}\left(\left\{\mathbf{h}_{v}^{k-1}\right\} \cup\left\{\mathbf{h}_{u}^{k-1}, \forall u \in \mathcal{N}(v)\right\}\right)\right.\]举个简单例子，比如一个节点的3个邻居的embedding分别为 $[1, 2, 3, 4], [2, 3, 4, 5], [3, 4, 5, 6]$ 按照每一维分别求均值就得到了聚合后的邻居embedding为 $[2, 3, 4, 5]$.
论文中还阐述了另外两种aggregator: LSTM aggregator 和 Pooling aggregator, 有兴趣的可以去论文中看下。
参数学习
到此为止，整个模型的架构就讲完了，那么GraphSAGE是如何学习聚合器的参数以及权重变量$\textbf{W}$的呢? 在有监督的情况下，可以使用每个节点的预测label和真实label的交叉熵作为损失函数。在无监督的情况下，可以假设相邻的节点的输出embeding应当尽可能相近，因此可以设计出如下的损失函数：
\[J_{\mathcal{G}}\left(\mathbf{z}_{u}\right)=-\log \left(\sigma\left(\mathbf{z}_{u}^{\top} \mathbf{z}_{v}\right)\right)-Q \cdot \mathbb{E}_{v_{n} \sim P_{n}(v)} \log \left(\sigma\left(-\mathbf{z}_{u}^{\top} \mathbf{z}_{v_{n}}\right)\right)\]其中$z_u$是节点$u$的输出embedding, $v$是节点$u$的邻居(这里邻居是广义的，比如说如果$v$和$u$在一个定长的随机游走中可达，那么我们也认为他们相邻)，$P_n$是负采样分布，$Q$是负采样的样本数量，所谓负采样指我们还需要一批不是$v$邻居的节点作为负样本，那么上面这个式子的意思是相邻节点的embedding的相似度尽量大的情况下保证不相邻节点的embedding的期望相似度尽可能小。
后话
GraphSAGE采用了采样的机制，克服了GCN训练时内存和显存上的限制，使得图模型可以应用到大规模的图结构数据中，是目前几乎所有工业上图模型的雏形。然而，每个节点这么多邻居，采样能否考虑到邻居的相对重要性呢，或者我们在聚合计算中能否考虑到邻居的相对重要性? 这个问题在我们的下一篇博文Graph Attentioin Networks中做了详细的讨论。